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4. 寻找两个正序数组的中位数

题目描述

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

 

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

 

 

提示：

• nums1.length == m
• nums2.length == n
• 0 <= m <= 1000
• 0 <= n <= 1000
• 1 <= m + n <= 2000
• -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

方法一：分治

题目要求算法的时间复杂度为 $O(\log (m+n))$，因此不能直接遍历两个数组，而是需要使用二分查找的方法。

如果 $m+n$ 是奇数，那么中位数就是第 $\lfloor \frac{m+n+1}{2}\rfloor$ 个数；如果 $m+n$ 是偶数，那么中位数就是第 $\lfloor \frac{m+n+1}{2}\rfloor$ 和第 $\lfloor \frac{m+n+2}{2}\rfloor$ 个数的平均数。实际上，我们可以统一为求第 $\lfloor \frac{m+n+1}{2}\rfloor$ 个数和第 $\lfloor \frac{m+n+2}{2}\rfloor$ 个数的平均数。

因此，我们可以设计一个函数 $f(i,j,k)$，表示在数组 $nums1$ 的区间 $[i,m)$ 和数组 $nums2$ 的区间 $[j,n)$ 中，求第 $k$ 小的数。那么中位数就是 $f(0,0,\lfloor \frac{m+n+1}{2}\rfloor )$ 和 $f(0,0,\lfloor \frac{m+n+2}{2}\rfloor )$ 的平均数。

函数 $f(i,j,k)$ 的实现思路如下：

• 如果 $i\ge m$，说明数组 $nums1$ 的区间 $[i,m)$ 为空，因此直接返回 $nums2[j+k-1]$；
• 如果 $j\ge n$，说明数组 $nums2$ 的区间 $[j,n)$ 为空，因此直接返回 $nums1[i+k-1]$；
• 如果 $k=1$，说明要找第一个数，因此只需要返回 $nums1[i]$ 和 $nums2[j]$ 中的最小值；
• 否则，我们分别在两个数组中查找第 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$ 个数，设为 $x$ 和 $y$。（注意，如果某个数组不存在第 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$ 个数，那么我们将第 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$ 个数视为 $+\mathrm{\infty }$。）比较 $x$ 和 $y$ 的大小：
  • 如果 $x\le y$，则说明数组 $nums1$ 的第 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$ 个数不可能是第 $k$ 小的数，因此我们可以排除数组 $nums1$ 的区间 $[i,i+\lfloor \frac{k}{2}\rfloor )$，递归调用 $f(i+\lfloor \frac{k}{2}\rfloor ,j,k-\lfloor \frac{k}{2}\rfloor )$。
  • 如果 $x>y$，则说明数组 $nums2$ 的第 $\lfloor \frac{k}{2}\rfloor$ 个数不可能是第 $k$ 小的数，因此我们可以排除数组 $nums2$ 的区间 $[j,j+\lfloor \frac{k}{2}\rfloor )$，递归调用 $f(i,j+\lfloor \frac{k}{2}\rfloor ,k-\lfloor \frac{k}{2}\rfloor )$。

时间复杂度 $O(\log (m+n))$，空间复杂度 $O(\log (m+n))$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是数组 $nums1$ 和 $nums2$ 的长度。

可视化演示

以 nums1 = [1, 3]、nums2 = [2] 为例，演示分治求第 k 小：每次比较两个数组的 k/2 位置元素，排除较小那侧的 k/2 个元素，逐步缩小搜索范围。点击 ▶ 播放，或逐步操作。

i▼

10

31

j▼

20

0非零交换中窗口内指针位置

nums1 = [1,3]，nums2 = [2]。m+n=3 为奇数 → 中位数是第 (3+1)/2 = 2 小的数。调用 f(0, 0, 2)

1 / 4 速度 1000ms

跳过可视化，直接看代码 ↓

Java

class Solution {
    private int m;
    private int n;
    private int[] nums1;
    private int[] nums2;

    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        m = nums1.length;
        n = nums2.length;
        this.nums1 = nums1;
        this.nums2 = nums2;
        int a = f(0, 0, (m + n + 1) / 2);
        int b = f(0, 0, (m + n + 2) / 2);
        return (a + b) / 2.0;
    }

    private int f(int i, int j, int k) {
        if (i >= m) {
            return nums2[j + k - 1];
        }
        if (j >= n) {
            return nums1[i + k - 1];
        }
        if (k == 1) {
            return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
        }
        int p = k / 2;
        int x = i + p - 1 < m ? nums1[i + p - 1] : 1 << 30;
        int y = j + p - 1 < n ? nums2[j + p - 1] : 1 << 30;
        return x < y ? f(i + p, j, k - p) : f(i, j + p, k - p);
    }
}

C++

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        function<int(int, int, int)> f = [&](int i, int j, int k) {
            if (i >= m) {
                return nums2[j + k - 1];
            }
            if (j >= n) {
                return nums1[i + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return min(nums1[i], nums2[j]);
            }
            int p = k / 2;
            int x = i + p - 1 < m ? nums1[i + p - 1] : 1 << 30;
            int y = j + p - 1 < n ? nums2[j + p - 1] : 1 << 30;
            return x < y ? f(i + p, j, k - p) : f(i, j + p, k - p);
        };
        int a = f(0, 0, (m + n + 1) / 2);
        int b = f(0, 0, (m + n + 2) / 2);
        return (a + b) / 2.0;
    }
};

TypeScript

function findMedianSortedArrays(nums1: number[], nums2: number[]): number {
    const m = nums1.length;
    const n = nums2.length;
    const f = (i: number, j: number, k: number): number => {
        if (i >= m) {
            return nums2[j + k - 1];
        }
        if (j >= n) {
            return nums1[i + k - 1];
        }
        if (k == 1) {
            return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
        }
        const p = Math.floor(k / 2);
        const x = i + p - 1 < m ? nums1[i + p - 1] : 1 << 30;
        const y = j + p - 1 < n ? nums2[j + p - 1] : 1 << 30;
        return x < y ? f(i + p, j, k - p) : f(i, j + p, k - p);
    };
    const a = f(0, 0, Math.floor((m + n + 1) / 2));
    const b = f(0, 0, Math.floor((m + n + 2) / 2));
    return (a + b) / 2;
}

Python

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        def f(i: int, j: int, k: int) -> int:
            if i >= m:
                return nums2[j + k - 1]
            if j >= n:
                return nums1[i + k - 1]
            if k == 1:
                return min(nums1[i], nums2[j])
            p = k // 2
            x = nums1[i + p - 1] if i + p - 1 < m else inf
            y = nums2[j + p - 1] if j + p - 1 < n else inf
            return f(i + p, j, k - p) if x < y else f(i, j + p, k - p)

        m, n = len(nums1), len(nums2)
        a = f(0, 0, (m + n + 1) // 2)
        b = f(0, 0, (m + n + 2) // 2)
        return (a + b) / 2