70. 爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

 

提示：

• 1 <= n <= 45

方法一：递推

我们定义 $f[i]$ 表示爬到第 $i$ 阶楼梯的方法数，那么 $f[i]$ 可以由 $f[i-1]$ 和 $f[i-2]$ 转移而来，即：

$$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$$

初始条件为 $f[0]=1$，$f[1]=1$，即爬到第 0 阶楼梯的方法数为 1，爬到第 1 阶楼梯的方法数也为 1。

答案即为 $f[n]$。

由于 $f[i]$ 只与 $f[i-1]$ 和 $f[i-2]$ 有关，因此我们可以只用两个变量 $a$ 和 $b$ 来维护当前的方法数，空间复杂度降低为 $O(1)$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。

Java

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int a = 0, b = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return b;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int a = 0, b = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return b;
    }
};

TypeScript

function climbStairs(n: number): number {
    let p = 1;
    let q = 1;
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        [p, q] = [q, p + q];
    }
    return q;
}

Python

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        a, b = 0, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, a + b
        return b

方法二：矩阵快速幂加速递推

我们设 $Fib(n)$ 表示一个 $1\times 2$ 的矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]$，其中 $F_n$ 和 $F_{n-1}$ 分别是第 $n$ 个和第 $n-1$ 个斐波那契数。

我们希望根据 $Fib(n-1)=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]$ 推出 $Fib(n)$。也即是说，我们需要一个矩阵 $base$，使得 $Fib(n-1)\times base=Fib(n)$，即：

$$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]\times base=\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]$$

由于 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，所以矩阵 $base$ 的第一列为：

$$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

第二列为：

$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

因此有：

$$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]$$

我们定义初始矩阵 $res=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$，那么 $F_n$ 等于 $res$ 乘以 $bas{e}^{n-1}$ 的结果矩阵中第一行的第一个元素。使用矩阵快速幂求解即可。

时间复杂度 $O(\log n)$，空间复杂度 $O(1)$。

Java

class Solution {
    private final int[][] a = {{1, 1}, {1, 0}};

    public int climbStairs(int n) {
        return pow(a, n - 1)[0][0];
    }

    private int[][] mul(int[][] a, int[][] b) {
        int m = a.length, n = b[0].length;
        int[][] c = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                for (int k = 0; k < a[0].length; ++k) {
                    c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return c;
    }

    private int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] res = {{1, 1}, {0, 0}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                res = mul(res, a);
            }
            n >>= 1;
            a = mul(a, a);
        }
        return res;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<vector<long long>> a = {{1, 1}, {1, 0}};
        return pow(a, n - 1)[0][0];
    }

private:
    vector<vector<long long>> mul(vector<vector<long long>>& a, vector<vector<long long>>& b) {
        int m = a.size(), n = b[0].size();
        vector<vector<long long>> res(m, vector<long long>(n));
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                for (int k = 0; k < a[0].size(); ++k) {
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }

    vector<vector<long long>> pow(vector<vector<long long>>& a, int n) {
        vector<vector<long long>> res = {{1, 1}, {0, 0}};
        while (n) {
            if (n & 1) {
                res = mul(res, a);
            }
            a = mul(a, a);
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
};

TypeScript

function climbStairs(n: number): number {
    const a = [
        [1, 1],
        [1, 0],
    ];
    return pow(a, n - 1)[0][0];
}

function mul(a: number[][], b: number[][]): number[][] {
    const [m, n] = [a.length, b[0].length];
    const c = Array(m)
        .fill(0)
        .map(() => Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            for (let k = 0; k < a[0].length; ++k) {
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }
        }
    }
    return c;
}

function pow(a: number[][], n: number): number[][] {
    let res = [
        [1, 1],
        [0, 0],
    ];
    while (n) {
        if (n & 1) {
            res = mul(res, a);
        }
        a = mul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

Python

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        def mul(a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
            m, n = len(a), len(b[0])
            c = [[0] * n for _ in range(m)]
            for i in range(m):
                for j in range(n):
                    for k in range(len(a[0])):
                        c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]
            return c

        def pow(a: List[List[int]], n: int) -> List[List[int]]:
            res = [[1, 1]]
            while n:
                if n & 1:
                    res = mul(res, a)
                n >>= 1
                a = mul(a, a)
            return res

        a = [[1, 1], [1, 0]]
        return pow(a, n - 1)[0][0]