39. 组合总和

题目描述

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。 

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

 

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

 

提示：

• 1 <= candidates.length <= 30
• 2 <= candidates[i] <= 40
• candidates 的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 40

方法一：排序 + 剪枝 + 回溯

我们可以先对数组进行排序，方便剪枝。

接下来，我们设计一个函数 $dfs(i,s)$，表示从下标 $i$ 开始搜索，且剩余目标值为 $s$，其中 $i$ 和 $s$ 都是非负整数，当前搜索路径为 $t$，答案为 $ans$。

在函数 $dfs(i,s)$ 中，我们先判断 $s$ 是否为 $0$，如果是，则将当前搜索路径 $t$ 加入答案 $ans$ 中，然后返回。如果 $s<candidates[i]$，说明当前下标及后面的下标的元素都大于剩余目标值 $s$，路径不合法，直接返回。否则，我们从下标 $i$ 开始搜索，搜索的下标范围是 $j\in [i,n)$，其中 $n$ 为数组 $candidates$ 的长度。在搜索的过程中，我们将当前下标的元素加入搜索路径 $t$，递归调用函数 $dfs(j,s-candidates[j])$，递归结束后，将当前下标的元素从搜索路径 $t$ 中移除。

在主函数中，我们只要调用函数 $dfs(0,target)$，即可得到答案。

时间复杂度 $O(2^n\times n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $candidates$ 的长度。由于剪枝，实际的时间复杂度要远小于 $O(2^n\times n)$。

相似题目：

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• 77. 组合
• 216. 组合总和 III

Java

class Solution {
    private List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    private List<Integer> t = new ArrayList<>();
    private int[] candidates;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        Arrays.sort(candidates);
        this.candidates = candidates;
        dfs(0, target);
        return ans;
    }

    private void dfs(int i, int s) {
        if (s == 0) {
            ans.add(new ArrayList(t));
            return;
        }
        if (s < candidates[i]) {
            return;
        }
        for (int j = i; j < candidates.length; ++j) {
            t.add(candidates[j]);
            dfs(j, s - candidates[j]);
            t.remove(t.size() - 1);
        }
    }
}

C++

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        vector<vector<int>> ans;
        vector<int> t;
        function<void(int, int)> dfs = [&](int i, int s) {
            if (s == 0) {
                ans.emplace_back(t);
                return;
            }
            if (s < candidates[i]) {
                return;
            }
            for (int j = i; j < candidates.size(); ++j) {
                t.push_back(candidates[j]);
                dfs(j, s - candidates[j]);
                t.pop_back();
            }
        };
        dfs(0, target);
        return ans;
    }
};

TypeScript

function combinationSum(candidates: number[], target: number): number[][] {
    candidates.sort((a, b) => a - b);
    const ans: number[][] = [];
    const t: number[] = [];
    const dfs = (i: number, s: number) => {
        if (s === 0) {
            ans.push(t.slice());
            return;
        }
        if (s < candidates[i]) {
            return;
        }
        for (let j = i; j < candidates.length; ++j) {
            t.push(candidates[j]);
            dfs(j, s - candidates[j]);
            t.pop();
        }
    };
    dfs(0, target);
    return ans;
}

Python

class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        def dfs(i: int, s: int):
            if s == 0:
                ans.append(t[:])
                return
            if s < candidates[i]:
                return
            for j in range(i, len(candidates)):
                t.append(candidates[j])
                dfs(j, s - candidates[j])
                t.pop()

        candidates.sort()
        t = []
        ans = []
        dfs(0, target)
        return ans

方法二：排序 + 剪枝 + 回溯（写法二）

我们也可以将函数 $dfs(i,s)$ 的实现逻辑改为另一种写法。在函数 $dfs(i,s)$ 中，我们先判断 $s$ 是否为 $0$，如果是，则将当前搜索路径 $t$ 加入答案 $ans$ 中，然后返回。如果 $i\ge n$ 或者 $s<candidates[i]$，路径不合法，直接返回。否则，我们考虑两种情况，一种是不选当前下标的元素，即递归调用函数 $dfs(i+1,s)$，另一种是选当前下标的元素，即递归调用函数 $dfs(i,s-candidates[i])$。

时间复杂度 $O(2^n\times n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $candidates$ 的长度。由于剪枝，实际的时间复杂度要远小于 $O(2^n\times n)$。

Java

class Solution {
    private List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    private List<Integer> t = new ArrayList<>();
    private int[] candidates;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        Arrays.sort(candidates);
        this.candidates = candidates;
        dfs(0, target);
        return ans;
    }

    private void dfs(int i, int s) {
        if (s == 0) {
            ans.add(new ArrayList(t));
            return;
        }
        if (i >= candidates.length || s < candidates[i]) {
            return;
        }
        dfs(i + 1, s);
        t.add(candidates[i]);
        dfs(i, s - candidates[i]);
        t.remove(t.size() - 1);
    }
}

C++

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        vector<vector<int>> ans;
        vector<int> t;
        function<void(int, int)> dfs = [&](int i, int s) {
            if (s == 0) {
                ans.emplace_back(t);
                return;
            }
            if (i >= candidates.size() || s < candidates[i]) {
                return;
            }
            dfs(i + 1, s);
            t.push_back(candidates[i]);
            dfs(i, s - candidates[i]);
            t.pop_back();
        };
        dfs(0, target);
        return ans;
    }
};

TypeScript

function combinationSum(candidates: number[], target: number): number[][] {
    candidates.sort((a, b) => a - b);
    const ans: number[][] = [];
    const t: number[] = [];
    const dfs = (i: number, s: number) => {
        if (s === 0) {
            ans.push(t.slice());
            return;
        }
        if (i >= candidates.length || s < candidates[i]) {
            return;
        }
        dfs(i + 1, s);
        t.push(candidates[i]);
        dfs(i, s - candidates[i]);
        t.pop();
    };
    dfs(0, target);
    return ans;
}

Python

class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        def dfs(i: int, s: int):
            if s == 0:
                ans.append(t[:])
                return
            if i >= len(candidates) or s < candidates[i]:
                return
            dfs(i + 1, s)
            t.append(candidates[i])
            dfs(i, s - candidates[i])
            t.pop()

        candidates.sort()
        t = []
        ans = []
        dfs(0, target)
        return ans