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53. 最大子数组和

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 10⁵
-10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

方法一：动态规划

我们定义 $f [i]$ 表示以元素 $n u m s [i]$ 为结尾的连续子数组的最大和，初始时 $f [0] = n u m s [0]$ ，那么最终我们要求的答案即为 $max_{0 \leq i < n} f [i]$ 。

考虑 $f [i]$ ，其中 $i \geq 1$ ，它的状态转移方程为：

f [i] = max {f [i - 1] + n u m s [i], n u m s [i]}

也即：

f [i] = max {f [i - 1], 0} + n u m s [i]

由于 $f [i]$ 只与 $f [i - 1]$ 有关系，因此我们可以只用一个变量 $f$ 来维护对于当前 $f [i]$ 的值是多少，然后进行状态转移即可。答案为 $max_{0 \leq i < n} f$ 。

时间复杂度 $O (n)$ ，其中 $n$ 为数组 $n u m s$ 的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。空间复杂度 $O (1)$ ，我们只需要常数空间存放若干变量。

可视化演示

以 nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] 为例，演示动态规划 f = max(f, 0) + nums[i] 的过程：f 表示以当前元素结尾的最大子数组和，蓝色为当前计算的格子，绿色为已完成，红色为最大和所在位置。点击 ▶ 播放，或逐步操作。

i▼

-20

·1

·2

·3

·4

·5

·6

·7

·8

nums

-20

-32

-14

-57

当前计算比较/参照已计算回溯路径答案

初始化：f = nums[0] = -2，ans = -2。第一行 f 为状态数组，第二行 nums 为原数组。

1 / 9 速度 1000ms

跳过可视化，直接看代码 ↓

JavaC++TypeScriptPython

java

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int ans = nums[0];
        for (int i = 1, f = nums[0]; i < nums.length; ++i) {
            f = Math.max(f, 0) + nums[i];
            ans = Math.max(ans, f);
        }
        return ans;
    }
}

cpp

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int ans = nums[0], f = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            f = max(f, 0) + nums[i];
            ans = max(ans, f);
        }
        return ans;
    }
};

function maxSubArray(nums: number[]): number {
    let [ans, f] = [nums[0], nums[0]];
    for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
        f = Math.max(f, 0) + nums[i];
        ans = Math.max(ans, f);
    }
    return ans;
}

python

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        ans = f = nums[0]
        for x in nums[1:]:
            f = max(f, 0) + x
            ans = max(ans, f)
        return ans

方法二：分治法

可视化演示

以 nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] 为例，演示分治法：递归 maxSub(left, right) 将区间对半分割，分别求左半、右半及跨中点的最大子数组和，取三者最大值返回。绿色区间为当前递归考察的区间。点击 ▶ 播放，或逐步操作。

l▼mid▼r▼

-20

-32

-14

-57

滑动窗口 [0, 8]（绿色区域）

0非零交换中窗口内指针位置

maxSub(0, 8)：mid = (0+8)>>1 = 4。分治：左半 [0..4]，右半 [5..8]，再分别求最大子数组和。

1 / 8 速度 1000ms

跳过可视化，直接看代码 ↓

JavaPython

java

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return maxSub(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private int maxSub(int[] nums, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }
        int mid = (left + right) >>> 1;
        int lsum = maxSub(nums, left, mid);
        int rsum = maxSub(nums, mid + 1, right);
        return Math.max(Math.max(lsum, rsum), crossMaxSub(nums, left, mid, right));
    }

    private int crossMaxSub(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        int lsum = 0, rsum = 0;
        int lmx = Integer.MIN_VALUE, rmx = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = mid; i >= left; --i) {
            lsum += nums[i];
            lmx = Math.max(lmx, lsum);
        }
        for (int i = mid + 1; i <= right; ++i) {
            rsum += nums[i];
            rmx = Math.max(rmx, rsum);
        }
        return lmx + rmx;
    }
}

python

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        def crossMaxSub(nums, left, mid, right):
            lsum = rsum = 0
            lmx = rmx = -inf
            for i in range(mid, left - 1, -1):
                lsum += nums[i]
                lmx = max(lmx, lsum)
            for i in range(mid + 1, right + 1):
                rsum += nums[i]
                rmx = max(rmx, rsum)
            return lmx + rmx

        def maxSub(nums, left, right):
            if left == right:
                return nums[left]
            mid = (left + right) >> 1
            lsum = maxSub(nums, left, mid)
            rsum = maxSub(nums, mid + 1, right)
            csum = crossMaxSub(nums, left, mid, right)
            return max(lsum, rsum, csum)

        left, right = 0, len(nums) - 1
        return maxSub(nums, left, right)

53. 最大子数组和 ​

题目描述 ​

方法一：动态规划 ​

可视化演示 ​

方法二：分治法 ​

可视化演示 ​

53. 最大子数组和

题目描述

方法一：动态规划

可视化演示

方法二：分治法

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